در این سوال باید مجموع جواب‌های معادله \(\frac{3x+1}{x^2-1} + \frac{2}{x+1} = 0\) را پیدا کنیم.
مراحل حل:
1. ک.م.م مخرجین را پیدا می‌کنیم:
مخرج مشترک \(x^2-1\) و \(x+1\) برابر با \((x-1)(x+1)\) است.
2. معادله را به صورت یک کسر با مخرج مشترک می‌نویسیم:
\[
\frac{(3x+1)(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0
\]
3. صورت کسر را مساوی صفر قرار می‌دهیم:
\((3x+1)(x+1) + 2(x-1) = 0\)
4. عبارت را ساده می‌کنیم:
\[
3x^2 + 3x + x + 1 + 2x - 2 = 0
\]
\[
3x^2 + 6x - 1 = 0
\]
5. از فرمول ریشه‌های معادله درجه دوم استفاده می‌کنیم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
برای \(a = 3\)، \(b = 6\)، \(c = -1\):
\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3}
\]
\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6}
\]
\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{6}
\]
\[
x = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6}
\]
\[
x = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}
\]
6. مجموع جواب‌ها را محاسبه می‌کنیم:
\(-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} + (-1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) = -2\)
بنابراین، مجموع جواب‌های معادله برابر با \(-2\) است.
